Órbitas en las proximidades de un cuerpo celeste

Secuencia de actividades que pueden realizar los alumnos del proyecto. Comienza con un estudio cualitativo del tiro horizontal y la hipótesis de Galileo, incluye la creación de una animación por los propios alumnos, incluye también una revisión al dibujo de Newton de la síntesis newtoniana, y termina viendo las órbitas posibles con otra animación.

A.1 Se lanza un objeto horizontalmente. ¿Qué tipo de trayectoria sigue?

Comentarios: Se puede empezar la actividad pidiendo a los alumnos que realicen lanzamientos de este tipo (uno de ellos puede ser hacer rodar una pelotita por una mesa y observar su movimiento desde que abandona la mesa hasta que llega al suelo). Después les pediremos que dibujen aproximadamente la trayectoria (siempre será una curva y probablemente algunos hayan oído decir que es una parábola).

A.2 Como la trayectoria es curvilínea, parece difícil plantear directamente sobre ella unas ecuaciones del movimiento. ¿Qué podríamos hacer entonces para superar esta dificultad? Sugerid una posible estrategia.

Comentarios: Para llevar al huerto a los estudiantes, el profesor les recordará que el cuerpo avanza y también cae. Se trata entonces de pensar cómo avanza y cómo cae.

A.3 Galileo formuló una hipótesis, según la cual un tiro horizontal se podría estudiar componiendo un movimiento de avance horizontal uniforme con una caída libre vertical. Aceptando esta hipótesis de Galileo, tratad de dibujar de forma razonada la trayectoria de varios cuerpos lanzados horizontalmente desde una misma altura con diferentes velocidades.

Comentarios: Después de que los alumnos hagan sus dibujos será interesante contrastarlos con los dibujos del propio Galileo.

A.4 Creación y manipulación de una animación para reproducir la hipótesis de Galileo.

Comentarios: Es muy sencillo que los alumnos construyan y prueben esta animación. Como modelo matemático de la misma han de escribir las ecuaciones del movimiento horizontal (uniforme) y las del movimiento vertical (caída libre, uniformemente acelerado). Hecho esto, en la pantalla de la animación pueden colocar tres pelotitas: una para que simule el movimiento horizontal, otra para que simule el movimiento vertical, y la tercera para que reproduzca la composición de ambos.

Dejando como variable la velocidad horizontal, se pueden probar con la animación diferentes lanzamientos con velocidades iniciales distintas, y ver que se obtienen movimientos similares a los de los dibujos de Galileo, incluyendo, por supuesto, el caso en que la velocidad inicial horizontal fuese nula (tendríamos una caída libre). Si en el modelo físico matemático, la gravedad se escribe como variable, también se puede plantear qué pasaría, por ejemplo, en caso de que desapareciera la gravedad (entonces tendríamos un movimiento horizontal y uniforme). La animación está aquí: http://rsefalicante.umh.es/Mecanica/Galileo.zip

A.5 Hasta ahora hemos previsto diferentes trayectorias de un cuerpo lanzado horizontalmente con velocidades relativamente pequeñas (comparadas con las dimensiones de la Tierra). Pero, ¿qué ocurre si la velocidad del lanzamiento es mucho mayor? Dibujad diferentes trayectorias que cabe esperar.

Comentarios: Esta actividad es clave y nos debe llevar al dibujo de Newton que pone de relieve la ruptura con la separación entre Cielo y Tierra, al mostrar que la caída libre vertical, el tiro horizontal, la trayectoria hiperbólica, la órbita circular, la órbita elíptica, etc. Son diferentes soluciones de las mismas ecuaciones del movimiento de un objeto sometido a la fuerza de atracción gravitatoria de un cuerpo celeste. Los alumnos han de llegar a interpretar que un cuerpo que describe una órbita, por ejemplo, circula, está continuamente cayendo, lo que pasa es que la velocidad inicial del lanzamiento es en este caso exactamente la adecuada para que la relación que se produce entre el avance horizontal del cuerpo y su caída vertical sea la misma que hay entre el la proyección horizontal (mirando hacia el horizonte) desde un punto de la superficie de la Tierra y la caída vertical correspondiente del propio suelo terrestre.

A.6 Manipulación de una animación informática que reproduce de forma animada el dibujo de Newton.

Comentarios: Además de recrear de forma animada el dibujo fundamental de Newton, podemos jugar un poco con esta animación para reforzar estos conceptos. Por ejemplo, podemos quitar la imagen de la Tierra y que se vean sólo las tres pelotas. Entonces podríamos preguntar a los alumnos cuál de ellas cae más y cuál lo hace menos. La sorpresa se produce cuando al recuperar la imagen de la Tierra se ve que la que podrían haber dicho que cae más es justamente la única que no acaba tropezando con el suelo, sino que realiza una órbita circular.

La animación y una explicación detallada de estos conceptos, están aquí:

http://rsefalicante.umh.es/TemasCampo_gravitatorio/Campo_gravitatorio13.htm

A.7 Manipulación de una animación informática que prevé las diferentes órbitas y permite al usuario intervenir sobre la marcha sobre ellas.

Comentarios: Esta animación dibuja el movimiento de un cuerpo en el espacio sobre el que se ejerce la fuerza de atracción gravitatoria de un cuerpo celeste. En cualquier momento se puede modificar la velocidad del cuerpo (solo hay que colocar el cursor encima del mismo y aparece el vector velocidad que se puede hacer más o menos grande, orientar en cualquier sentido, etc.) y ver cómo se modifica su trayectoria, incluyendo obviamente la posibilidad de que supere la velocidad de escape y, en consecuencia, la trayectoria sea abierta y sin retorno. En todo momento proporciona la velocidad del cuerpo.

La animación está en el mismo sitio que la anterior. Es decir, aquí:

http://rsefalicante.umh.es/TemasCampo_gravitatorio/Campo_gravitatorio13.htm

Manuel Alonso

 

NASA

Influencia de la masa en la caída libre

Influencia de la masa en la caída libre: Experimento de la pluma y el martillo (Apolo 15). Supuesto experimento de la torre de Pisa (Galileo)

Los alumnos pueden realizar una secuencia de actividades diseñada para profundizar en la comprensión de los conceptos acerca de cómo influye la masa en la caída libre. La secuencia incluye el análisis dos experimentos históricos: el supuesto de Galileo de la Torre de Pisa y el que se realizó en la misión Apolo 15 de la caída de la pluma y el martillo. Un primer boceto de la secuencia puede ser el siguiente:

A.1 Plantead hipótesis acerca de la posible influencia de la masa de los cuerpos en el tiempo que tardan en caer libremente sobre el suelo.

Comentarios: Normalmente, los estudiantes plantean que cuanto mayor sea la masa de un cuerpo más rápido caerá el cuerpo hacia el suelo. Incluso aunque ya hayan sido instruidos en cursos anteriores, la tentación de mantener esta hipótesis es muy fuerte. Tienen buenas razones para ello y lo importante es que en la puesta en común el profesor las ponga en evidencia. ¿Por qué creéis que debe caer más rápido (llegar antes al suelo) un cuerpo de mayor masa? Porque la Tierra lo atrae con más fuerza.

A.2 Realización de un experimento sencillo para comprobar si la Tierra atrae realmente más a los cuerpos de mayor masa.

Comentarios: Una forma de comprobar si la Tierra atrae con mayor fuerza a un cuerpo de mayor masa es colgar varios cuerpos (de masas diferentes) de un mismo muelle. Así se constata que en efecto, cuanto mayor sea la masa de un cuerpo, mayor es la fuerza de atracción de la Tierra sobre él. Más precisamente, se constata que un cuerpo de doble masa es atraído con el doble de fuerza. Es decir, la fuerza peso es proporcional a la masa. Por tanto, deberíamos esperar que el cuerpo de doble masa tarde mucho menos en llegar al suelo. No digamos un cuerpo que multiplique por mucho la masa de otro.

A.3 Realización de experimentos sencillos para ver si realmente la masa influye en la caída libre.

Comentarios: Podemos empezar dejando caer una hoja de papel y una pelotita de tenis. Se comprueba que la hoja de papel no es que tarde más, sino que tiene un movimiento complicadísimo, afectada por el rozamiento con el aire. Pero, lo que queremos comparar es la caída libre de dos cuerpos, cuando su movimiento es rectilíneo, es decir, minimizando el rozamiento. Una forma de minimizar el rozamiento es doblar la hoja de papel para convertirla en una esfera lo más compacta posible, es decir, darle una forma semejante a la pelota de tenis. Hecho esto ya podemos dejar caer ambas simultáneamente y comprobamos con sorpresa de los alumnos que parecen caer prácticamente igual. La conclusión sería que en ausencia de rozamiento dos cuerpos de masa muy diferente parecen caer igual (tienen la misma aceleración).

A.4 Visionado de un video de la misión Apolo 15, en el que el que el astronauta realiza sobre la superficie de la Luna el experimento de la caída libre de la pluma y el martillo. ¿Se obtendría el mismo resultado si realizamos este experimento en la Tierra?

Comentarios: El video está aquí: https://history.nasa.gov/alsj/a15/

Vale la pena verlo y también escuchar lo que dice al astronauta (en algunas páginas web está disponible la traducción al castellano). En cuanto a la pregunta de si se obtendría el mismo resultado al realizar el experimento en la Tierra, la respuesta es obviamente negativa, dado que, así como en la Luna no hay atmósfera y por tanto no interviene el rozamiento, en la Tierra el aire influye notablemente sobre la caída de la pluma (Podemos llevar a clase una pluma y un martillo para reproducir el experimento) Aquí, se puede aprovechar la ocasión para decir que uno de los valores de las misiones espaciales es su aprovechamiento para realizar experimentos en condiciones difíciles obtener en la Tierra. Aunque no es obviamente el caso de éste en concreto, ya que en la Tierra se han realizado experimentos muchísimo más precisos, como éste histórico:

https://news.stanford.edu/pr/99/atomgravity990825.html

O este otro mucho más reciente del que se publicó la siguiente noticia:

http://rsefalicante.umh.es/TemasCaida/Caida-libre-cuantica.pdf

Quizá los alumnos puedan leer algo sobre alguno de estos dos experimentos.

A.5 Síntesis de las actividades anteriores. Conclusiones hasta el momento.

Comentarios: Las conclusiones fundamentales son dos:

1) En ausencia de rozamiento todos los cuerpos (con independencia de cuál sea su masa) caen con la misma aceleración.

2) Sin embargo, cuanto mayor sea la masa de un cuerpo mayor es la fuerza con la que lo atrae bien la Tierra, la Luna, etc. (el peso es proporcional a la masa).

Por tanto, las actividades realizadas hasta este momento llevan a plantear la siguiente cuestión, pendiente de resolver: ¿Cómo es posible que, a pesar de que la Tierra (la Luna, o cualquier otro cuerpo celeste) atrae mucho más a los cuerpos de mayor masa, cuerpos de masas muy diferentes caigan igual (en ausencia de rozamiento)?

A.6 (en dinámica, después de haber visto la ley de gravitación) Utilizad los principios de la dinámica de Newton y la ley de gravitación universal para deducir una expresión de la aceleración de caída de un cuerpo en las proximidades de la superficie terrestre.

Comentarios: Como la única fuerza que se ejerce sobre el cuerpo es la fuerza peso o fuerza gravitatoria, Fg, la aceleración con la que cae hacia la Tierra un cuerpo de masa m, desde una pequeña altura es:

a = Fres/m = Fg/m

Sustituyendo la expresión que da la ley de gravitación para la fuerza gravitatoria entre la Tierra, de masa M, y el cuerpo, de masa m, se obtiene la siguiente expresión del módulo de la aceleración:

a = G·M/RT2

Esta expresión revela que la aceleración de caída no depende de la masa, m, del cuerpo que cae. Pero ¿por qué ocurre esto?

A.7 Interpretad detenidamente por qué no depende la aceleración de caída de la masa del cuerpo que cae, a pesar de que la fuerza con la que la Tierra lo atrae sí depende de dicha masa.

Comentarios: La fuerza de interacción gravitatoria entre la Tierra y el cuerpo, Fg, es fuerza es mayor cuanto mayor sea una propiedad característica de cada uno de ellos, que a partir de este momento, debemos llamar, no de forma imprecisa masa, sino de manera más matizada masa gravitatoria (Mg y mg). Su módulo se calcula usando la ley de gravitación:

Fg=(G·Mg·mg)/r2

Así, la masa gravitatoria, mg, representa una propiedad de los objetos que indica su capacidad de atraer y ser atraídos gravitatoriamente por otros cuerpos.

Por otra parte, de acuerdo con el segundo principio de la dinámica de Newton, al aplicar a un cuerpo una fuerza F, experimenta una aceleración cuyo valor depende de una propiedad del cuerpo que, a partir de ahora hemos de llamar masa inercial, mi, en lugar del término más impreciso de masa. Es decir, el módulo de la aceleración es:

a = Fres/mi

Un objeto de masa inercial grande modifica menos su velocidad que otro de masa inercial pequeña si a ambos se les aplica la misma fuerza.

Por tanto, de una manera más precisa, debemos expresar la aceleración de caída así:

a=(G·M·mg)/(mi r2 )

Como el experimento nos ha mostrado que todos los cuerpos caen con la misma aceleración, concluimos que mi = mg. Es decir, la masa inercial es igual a la masa gravitatoria, lo que quiere decir que, cuanto mayor sea la masa (gravitatoria) de un cuerpo, más es atraído por la Tierra, pero, al mismo tiempo, cuanto mayor sea la masa (inercial) de un cuerpo, menos acelera cuando la Tierra lo atrae. Como masa inercial y masa gravitatoria son (sorprendentemente) iguales, ambos efectos se compensan y todos los cuerpos tienen la misma aceleración de caída. (No ocurre así con ninguna otra fuerza. Por ejemplo, dos cuerpos cargados se atraen con una fuerza mayor cuanto mayor sea su carga, pero la aceleración de su movimiento de aproximación o distanciamiento es menos cuanto mayores sean sus masas inerciales, no compensándose para nada la masa inercial con la carga eléctrica).

A.8 Cuenta una leyenda que Galileo, para demostrar que todos los cuerpos caen con la misma aceleración se subió a la torre de Pisa y dejó caer dos esferas de masas muy diferentes. Supuestamente varios testigos comprobaron que las dos esferas llegaron al suelo simultáneamente. Utilizad las leyes de la mecánica de Newton para deducir una expresión de la aceleración de caída real (considerando el rozamiento) y extraed conclusiones acerca de si Galileo realmente realizó o no este experimento.

Comentarios: Los alumnos saben que al querer avanzar rápidamente sumergidos en nuestra atmósfera (por ejemplo, corriendo o montando en bicicleta) se nos opone una fuerza de rozamiento del aire y también han vivido experiencias que sugieren que esta oposición del aire es mayor cuanto mayor sea nuestra velocidad. A partir de aquí pueden plantear a modo de hipótesis, una expresión de la fuerza de rozamiento del tipo: fr = k·v o fr = kv2, etc.
Teniendo esto en cuenta, la expresión de la aceleración de caída de un cuerpo en la atmósfera será:

a=Fres/m=(Fg-fr )/m=(m·g-k·v)/m

En esta expresión, no se cancela la masa inercial con la masa gravitatoria, sino que realmente la masa influye en el resultado y lo hace de tal modo que cuanto mayor sea, mayor resulta la aceleración de caída (para hacer el análisis, los alumnos tienen previamente que dividir por m en el numerador y en el denominador). Por tanto, aunque la forma de los cuerpos sea la más adecuada para minimizar el rozamiento, si éste existe, la bola más pesada llegará antes al suelo que la otra. Además hay que decir que como en la superficie terrestre la aceleración es relativamente grande, enseguida la velocidad es importante y, en consecuencia, también lo es la fr. Para una altura como la de la torre de Pisa, se obtiene, de hecho, una diferencia apreciable en el tiempo de caída de los dos objetos. Por lo que se concluye que Galileo no pudo realizar el experimento realmente o, si lo realizó, no pudo obtener el resultado que se le supone.

A.9 Manipulación de una animación informática que reproduce el supuesto experimento de Galileo de la Torre de Pisa.

Comentarios: La animación (creada por mí) reproduce, usando datos reales, el presunto experimento, permite modificar las masas de las esferas y el coeficiente de la fuerza de rozamiento. Simula la caída de las dos esferas y obtiene la diferencia de tiempo entre ellas.

Se puede ver y descargar aquí:

http://rsefalicante.umh.es/TemasCaidaagua/rozamiento-fluidos05.htm

Manuel Alonso